Hvilken funktion har 'n' inden for matematikken?
Principperne for multiplikation og addition
For at beregne antallet af mulige kombinationer er der visse grundlæggende retningslinjer, som man bør erindre. Blandt de mest afgørende finder man multiplikations- og additionsprincipperne.
Princippet om multiplikation
Såfremt en given handling, betegnet som t1, kan gennemføres på m distinkte måder, og en anden handling, t2, kan udføres på n vis, da vil den kombinerede opgave, t1og t2, kunne eksekveres på mn måder. Til sammenligning, hvis valget indebærer t1eller t2, opnås et resultat af m+n mulige udførelser.
For at illustrere dette, lad os betragte et eksempel.
Forestil dig, at vi besøger et ismejeri, idet vores hensigt er at anskaffe en enkeltkugle-is.
- Valgmuligheden om, hvorvidt isen skal serveres i et bæger eller en sprød vaffel, er tilgængelig.
- Desuden tilbydes et sortiment af tre forskellige isvarianter: nemlig chokolade, vanilje og jordbær.
- Endvidere er der mulighed for at vælge topping: syltetøj, en flødebolle, guf eller eventuelt slet intet ovenpå.
Hvor mange forskellige kombinationer er der mulige for at sammensætte en enkeltkugle-is?
Vi betegner valgmuligheden for at få isen i et bæger eller en vaffel som t1. Denne beslutning kan træffes på to måder.
Dernæst benævner vi valget af istype som t2. Her foreligger der tre distinkte fremgangsmåder.
Slutteligt betegner vi tilvalget af tilbehør som t3. Denne valgmulighed tilbyder fire forskellige veje.
Eftersom et element fra hver enkelt kategori skal udvælges, bliver vi følgelig nødsaget til at gennemføre handlingerne t1og t2og t3. Af den grund anvender vi derfor multiplikationsprincippet. Det er således nødvendigt at multiplicere det totale antal af valgmuligheder indbyrdes.
$$2\cdot3\cdot4=24$$
Dette er visualiseret ved hjælp af en grafisk fremstilling, hvor samtlige tilgængelige valgmuligheder præsenteres ved at følge en top-nedgående sekvens.
Princippet om Addition
Såfremt vores præferencer for isen er mere specifikke, kan vi undersøge antallet af fremgangsmåder til at skabe en is indeholdende enten en chokoladekugle eller en flødebolle som topping. Med andre ord, hvor mange valgmuligheder er der, såfremt vi foretrækker chokoladekuglen isoleret set og flødebollen som særskilt tilbehør, men derimod ikke ynder dem samlet?
Antallet af mulige scenarier med en chokoladekugle defineres som t1. Dernæst skal én ud af de to tilgængelige beholder-typer vælges, da iskuglen allerede er fastlagt som chokolade; og efterfølgende én af de tre topping-varianter (syltetøj, guf eller intet), idet flødebolle dog er udelukket. Følgelig kan t1 realiseres på 6 (=213) måder.
Antallet af scenarier, der inkluderer en flødebolle, betegnes som t2. I denne situation er det igen muligt at udvælge én ud af to beholder-typer, efterfulgt af én ud af to istyper (vanilje eller jordbær, men dog ikke chokolade), idet tilbehøret er forudbestemt til at være en flødebolle. Dermed kan t2 realiseres på 4 (=221) måder.
Vores interesse lå i at afdække antallet af fremgangsmåder til at vælge en is, der enten indeholdt en flødebolle eller bestod af en enkelt chokoladekugle. Dette svarer til at finde t1eller t2. Derfor anvendes additionsprincippet.
$$6+4=10$$
Følgelig eksisterer der ti fremgangsmåder til at sammensætte en is, der enten indeholder en flødebolle eller er baseret på chokoladeis.
De netop beskrevne to principper kan måske forekomme simple, men det er dog af afgørende betydning, at du formår at differentiere dem, når du skal udregne sandsynligheder i forbindelse med mere komplekse scenarier.
Ønsker man at betragte princippernes anvendelse i praksis, kan man konsultere afsnittet om kombinatorik og sandsynlighed!