Hvad er definitionsmængden for en funktion

© 2000-2012  Rasmus ehf  og Jóhann Ísak Pétursson

Funktioner I

Introduktion 5
En funktions definitionsmængde og værdimængde

 

---

Man kan tænke på en funktion som en maskine eller en serie af operationer, der udføres på tal.
De tal, der tilføres maskinen, benævnes definitionsmængden, og de tal, der kommer ud, kaldes værdimængden.
For en given funktion udgør definitionsmængden den samling af tilladte inputværdier, som kan indsættes. Definitionsmængden for funktionen f symboliseres som Dm(f).

Hvis funktionen er i stand til at antage samtlige mulige værdier, så udgøres definitionsmængden af alle reelle tal (mængden R).
Værdimængden for en funktion er den samling af resultater, som en funktion kan producere.
Værdimængden for funktionen f angives som Vm(f).
De tal, der indgår i definitionsmængden, repræsenterer x-værdierne, mens tallene i værdimængden er y-værdierne.

Vi har observeret, at visse funktioner ikke accepterer alle x-værdier, hvilket betyder, at mulighederne for definitionsmængden er begrænsede. Da x-værdien dikterer y-værdien, vil værdimængden ligeledes være begrænset.
Det er relativt ligetil at fastslå definitionsmængden, da vi blot behøver at identificere, hvilke x-værdier der ikke kan anvendes i vores beregninger.

Der eksisterer to gængse beregningsmetoder, som indsnævrer udvalget af gyldige x-værdier:

1. Division med nul er ikke tilladt.
2. Det er ikke muligt at udtrække kvadratroden af et negativt tal.

Det kan derimod være en smule mere udfordrende at bestemme funktionens værdimængde. Den mest effektive metode involverer en analyse af funktionens graf. Alternativt kan vi konsultere funktionstabellen, vælge ekstreme x-værdier og derefter observere de resulterende y-værdier.
 

Eksempel 1

Lad os undersøge funktionen f(x) = 2x + 4 

Eksempel 2

Lad os nu se på funktionen

Den eneste værdi, som vi ikke kan vælge, er x=0, da det ville medføre division med nul.
Definitionsmængden er derfor alle reelle tal undtagen nul (R\{0}).

Det er ikke ligetil at afgøre, hvilke værdier y antager, ved blot at betragte funktionstabellen.
Til gengæld kan vi konstatere, at f(10) er lig med f(&8722;10), hvilket giver 1/100, og f(100) er lig med f(&8722;100), hvilket resulterer i 1/10.000 og så videre.
Efterhånden som x-værdien øges, nærmer y-værdien sig stadigt mere 0.
Dog bliver y aldrig lig med 0 eller et negativt tal.

Når x nærmer sig 0 fra begge sider, bliver y-værdien derimod større og større:

 f(1/10) = f(&8722;1/10) = 100 og
 f(1/100) = f(&8722;1/100) = 10.000.

Konklusionen er, at værdimængden omfatter alle positive reelle tal. Vm(f)  = 0, . 

---

Eksempel 3

Lad os nu se på funktionen  

Vi kan anvende alle tal som input, med undtagelse af x=2, hvorfor definitionsmængden er Dm(f)= R\{2}.

Baseret på grafen og funktionstabellen kan vi observere, at y kan antage alle værdier, bortset fra dem, der ligger mellem -2 og 2.

Vm(f) =  {y R&9474;y < -2 eller y > 2}.

---

 

Eksempel  4

Lad os nu analysere parablen y = x² &8722; 2x + 2

Vi ved, at parablen vender opad, da koefficienten a er positiv (a > 0), hvilket indikerer, at toppunktet repræsenterer en minimumsværdi.

Vi fastlægger symmetriaksen ved hjælp af formlen

Det næste trin er at bestemme y-værdien, når x = 1.

f(1) = 1 &8722; 2×1 + 2 = 1. Toppunktet er derfor lokaliseret ved (1, 1), og Vm(f) = [1, .

 

Eksempel  5

Bestem værdimængden for funktionen

Vi kan se, at x ikke kan overstige 5, da dette ville indebære at tage kvadratroden af et negativt tal. Omvendt kan vi vælge ethvert negativt tal for x (da det resulterer i to negative fortegn foran x (&8722;&8722; = +) under kvadratroden). Definitionsmængden er derfor givet ved:

Dm(f) =  {xR&9474;x ≤ 5},  Dm(f) =  (&8722;∞, 5].

For at bestemme værdimængden er det nødvendigt at oprette en funktionstabel og analysere grafen.

Vi observerer, at grafen ender ved punktet (5, 0), men fortsætter opad mod venstre, så længe vi tegner den. Y-værdien bliver aldrig mindre end 0. Værdimængden er derfor følgende:

Vm(f) = {yR&9474;y ≥ 0},  Vm(f)  = [0, .

Husk på: Tallene, der udgør definitionsmængden, er x-værdierne, mens tallene i værdimængden repræsenterer y-værdierne.

---

Prøv test 5 i Kapitel I om funktioner.
Husk at anvende din tjekliste.