Hvad anvendes intervalmidtpunkt til?

Når man finder middelværdien af et datasæt, svarer det til at udregne gennemsnittet af tallene. Det noteres typisk som et x med en streg over.

$$\overline{x}=\text{middelværdi}$$

Hvis vi havde spurgt 10 gymnasieelever om deres lommepenge og modtaget svarene at 5 fik 50 kr/uge, 3 fik 70 kr/uge og 2 fik 90 kr/uge, så ville det gennemsnitlige antal lommepenge pr. uge være

$$\overline{x}=\frac{50+50+50+50+50+70+70+70+90+90}{10}=64$$

Det vi gjorde, da vi udregnede middelværdien, var at finde summen af alle observationerne (640). Derefter dividerede vi til sidst med det totale antal observationer (10).

Dette leder os frem til følgende formel

$$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i=\frac{x_1+x_2+...+x_N}{N}$$

I eksemplet ovenfor er N=10, x₁=70, x₂=90 osv.

Da vi i dag ofte benytter computere og forskellige matematikværktøjer (TI-nSpire, Maple) eller programmeringssprog (Python, Matlab, R, osv.), vil man finde middelværdien på følgende måde

$$ mean(x) = \frac{1}{N} sum(X) $$

hvor N er antallet af observationer (kan også defineres som length(X)) og x er en vektor (datarække, f.eks. en række eller kolonne i et regneark), der indeholder N værdier. 

(Du kan læse mere om summationstegnet her)

Man kan ligeledes udregne middelværdien ved at gange frekvensen med observationen og lægge det sammen

$$\overline{x}=\sum_{i=1}^nf_i\cdot x_i=f_1\cdot x_1+f_2\cdot x_2+...+f_n\cdot x_n$$

Man finder frekvensen ved

$$ f_i = \frac{h_i}{N} $$

hvor f er frekvensen for observationen, h er hyppigheden af observationen og N er det samlede antal observationer. Med andre ord er frekvensen den procentdel observation i udgør af datasættet. 

I ovenstående eksempel fik 50% af eleverne 50 kr/uge, 30% fik 70 kr/uge og 20% fik 90 kr/uge. Dermed kunne man have udregnet gennemsnittet som

$$\overline{x}=0,50\cdot50+0,30\cdot70+0,20\cdot90=64$$

Formlerne ovenfor kan vi anvende, når vi har med ugrupperede observationer at gøre. Men hvad gør vi så, når observationerne er grupperede?

Middelværdi for grupperede observationer

Når ens observationer er grupperede, kan man ikke blot tage og gange observationsværdien med hyppigheden. For observationerne er jo hele intervallet og ikke blot en enkelt værdi.

Det, man gør, er, at man udpeger midtpunktet af sit interval og benytter det som observationsværdi. Når man finder middelværdien for grupperede observationer, så finder man ikke den korrekte middelværdi, men en estimering af middelværdien. Hvis ens interval har endepunkterne a og b, finder man altså midtpunktet på følgende facon:

$$m=\text{startværdi}+\text{halvdelen af intervallets længde}=a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$$
eller

$$m=\text{slutværdi}-\text{halvdelen af intervallets længde}=b-\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$$

Vi har altså formlen for intervalmidtpunktet:

$$m=\frac{a+b}{2}$$

Når man har fundet sit intervalmidtpunkt, indsætter man det på x_i'ernes plads i formlerne for middelværdien af de ugrupperede observationer. Dvs. vi får

$$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N m_i=\frac{m_1+m_2+...+ m_N}{N}$$

eller hvis man foretrækker at benytte frekvenserne:

$$\overline{x}=\sum_{i=1}^nf_i\cdot m_i=f_1\cdot m_1+f_2\cdot m_2+...+f_n\cdot m_n$$

Lad os se på et eksempel, hvor vi har målt højden af 25 elever.

Dermed kan gennemsnitshøjden beregnes vha. de to formler ovenfor:

Nu kan vi summere antallet af observationer i hvert interval, så vi får følgende

$$ \sum_{i=1}^{N} m_{i,[160;170]} \\ = 165+165+165+165+165+165+165+165 = 1320 $$

Vi laver regnestykket for hvert interval og får så

$$\overline{x}=\frac{1320+1925+1110}{25}=174,2$$

$$\overline{x}=0,32\cdot165+0,44\cdot175+0,24\cdot185=174,2$$

Varians og spredning

Varians og spredning siger noget om, hvor stor spredning, der er i datasættet. Ligger observationerne tæt eller langt fra middelværdien?

Varians betegnes Var(x) eller med \( \sigma^2(x)\) (det græske bogstav lille sigma sat i anden). Man beregner variansen på følgende vis

$$\text{Var}(x)=\sigma^2(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2=$$

$$=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_N-\overline{x})^2}{N}$$

$$\text{Var}(x)=\sigma^2(x)=\sum_{i=1}^nf_i(x_i-\overline{x})^2=$$

$$=f_1(x_1-\overline{x})^2+f_2(x_2-\overline{x})^2+...+f_n(x_n-\overline{x})^2$$

Man finder altså afstanden mellem hver observation og middelværdien. Denne kvadrerer man, og så  finder man gennemsnittet af dette.

Spredningen (eller standardafvigelsen) betegnes \(\sigma(x)\). Læg mærke til, at spredning og varians begge betegnes med det græske bogstav sigma, (\(\sigma\)), hvor den eneste forskel er, at variansen er opløftet i anden. Spredningen beregnes på følgende måde

$$\sigma(x)=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{\sigma^2(x)}$$

Lad os finde varians og spredning for eksemplerne med lommepenge og højder ovenfor.

For lommepengeeksemplet er de:

$$\sigma^2(x)=0,50\cdot(50-64)^2+0,30\cdot(70-64)^2+0,20\cdot(90-64)^2=$$

$$=244$$

$$\sigma(x)=\sqrt{244}\approx15,62$$

og for højde-eksemplet er de

$$\text{Var}(x)=$$

$$0,32\cdot(165-174,2)^2+0,44\cdot(175-174,2)^2+0,24\cdot(185-174,2)^2$$

$$\approx55,36$$

$$\sigma(x)=\sqrt{55,36}\approx7,446$$

Bemærk, at vi brugte intervalmidtpunkterne til at udregne variansen i tilfældet med grupperede observationer.

Man anvender ofte spredning og varians til at sammenligne forskellige datasæt. Herunder er afbildet søjlediagrammer for to datasæt. Hver består af 22 observationer, og de har samme middelværdi. Imidlertid er varians og spredning forskellige for de to datasæt.

Videolektion