Hvad er distinktionen mellem tæller og nævner?

I det efterfølgende afsnit vil vi undersøge, hvordan vi:

• Summerer to brøker,
• Subtraherer to brøker fra hinanden,
• Multiplicerer to brøker (eller multiplicerer en brøk med et tal), og
• Dividerer brøker med hinanden.

Addition af brøker

Når man skal lægge brøker sammen, eller foretage en fratrækning, er det essentielt, at de besidder den samme nævner. Det siges, at de skal have en fælles divisor.
Dette er indlysende, da et enkelt stykke kage, som er delt i ti dele, ikke repræsenterer samme mængde kage som et enkelt stykke af samme kages størrelse, som er delt i seks dele. Det er nødvendigt at sikre, at stykkerne er af lige størrelse, før man påbegynder at addere eller subtrahere dem (se evt. forrige sektion om brøkers dimension).

Vi ønsker at beregne:

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\;?$$

Indledningsvis lokaliseres en fællesnævner for brøken. I dette tilfælde udvælger vi 12 som fællesnævner, da både 3 og 4 går jævnt op i 12. Vi udvider \(\frac{2}{3}\) med 4 og \(\frac{1}{4}\) med 3.

$$\frac{2}{3}=\frac{4\cdot2}{4\cdot3}=\frac{8}{12},$$

$$\frac{1}{4}=\frac{3\cdot1}{3\cdot4}=\frac{3}{12}.$$

Nu deler brøkerne samme nævner, hvorved vi kan lægge dem sammen. Dette udføres ved at addere tællerne (numrene over brøkstregerne).

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8+3}{12}=\frac{11}{12}.$$

Man kan vise beregningen via en illustration.

Subtraktion af brøker

Når man skal trække en brøk fra en anden brøk, er det ligeledes vigtigt at sikre sig, at de har samme nævner. Efterfølgende subtraheres den ene tæller fra den anden. Lad os kigge på et eksempel.

Vi vil beregne:

$$\frac{4}{7}-\frac{3}{14}=\;?$$

Et tal, som både 7 og 14 kan divideres op i, er 14. Brøken \(\frac{3}{14}\) er allerede i fjortendedele, så den lader vi forblive uændret. Brøken \(\frac{4}{7}\) skal vi forlænge med 2 for at transformere den til fjortendedele.

$$\frac{4}{7}=\frac{2\cdot4}{2\cdot7}=\frac{8}{14}.$$

Nu er begge brøker i fjortendedele, og vi kan derfor trække den ene fra den anden.

$$\frac{4}{7}-\frac{3}{14}=\frac{8}{14}-\frac{3}{14}=\frac{8-3}{14}=\frac{5}{14}.$$

Generelt kan reglerne præsenteres således:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b},$$

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}.$$

Multiplikation af brøker

Når man skal gange to brøker sammen, skal man blot gange tæller med tæller og nævner med nævner.

Det er altså ikke nødvendigt at finde fællesnævnere og lignende procedurer, som vi udførte, da vi skulle lægge dem sammen eller trække dem fra hinanden.

For eksempel:

$$\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{7}=\frac{4\cdot2}{5\cdot7}=\frac{8}{35}.$$

Hvis man skal multiplicere et helt tal med en brøk, skal man gange det på i tælleren.

Eksempelvis:

$$3\cdot\frac{2}{7}=\frac{3\cdot2}{7}=\frac{6}{7}.$$

Reglerne kan overordnet set skrives op med symboler som følger:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},$$

$$\frac{a}{b}\cdot c=\frac{a\cdot c}{b},$$

$$c\cdot\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b}.$$

Division med brøker

Når det angår division og brøker, er der tre scenarier:

1. Vi dividerer to brøker med hinanden,
2. Vi dividerer en brøk med et tal,
3. Vi dividerer et tal med en brøk.

Disse tre tilfælde vil vi nu undersøge nærmere!

Division af brøk med brøk

Når man skal dividere en brøk med en anden brøk, svarer det til at "vende den bageste brøk om" og efterfølgende multiplicere de to brøker med hinanden.

For eksempel:

$$\frac{1}{5}:{\color{Red} {\frac{3}{4}}} = \frac{1}{5}\cdot{\color{Red} {\frac{4}{3}}}\begin{matrix}\nwarrow\\\swarrow \end{matrix}\mathrm{byt} \ \mathrm{om} = \frac{4}{15}.$$

Det er vigtigt at pointere, at det er den brøk, som man dividerer med, der vendes!

Den generelle regel er:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\begin{matrix}\nwarrow\\\swarrow \end{matrix}\mathrm{byt} \ \mathrm{om}.$$

Division af brøk med tal

Når man skal dividere en brøk med et tal, ganges tallet på i nævneren. For eksempel:

$$\frac{5}{6}:2 = \frac{5}{6\cdot2} = \frac{5}{12}.$$

En metode til at memorere denne regel er ved at omdanne tallet til en brøk. (Ethvert tal korresponderer nemlig med en brøk med 1 i nævneren). Nu er den faktiske regel blot den samme som division af brøk med brøk. Ovenstående eksempel ville blive:

$$\frac{5}{6}:2 = \frac{5}{6}:{\color{Red} {\frac{2}{1}}} = \frac{5}{6}\cdot{\color{Red} {\frac{1}{2}}} = \frac{5\cdot1}{6\cdot2} = \frac{5}{12}.$$

Division af tal med brøk

Når man skal dividere et tal med en brøk, vendes brøken om, og tallet ganges på i (den nye) tæller.

Eksempelvis:

$$8:{\color{Red} {\frac{19}{2}}} = 8\cdot {\color{Red} {\frac{2}{19}}} = \frac{8\cdot2}{19} = \frac{16}{19}.$$

Igen kan vi omskrive tallet til en brøk med 1 i nævneren, og så er også denne regel den samme som division af brøk med brøk.

$$8:\frac{19}{2} = \frac{8}{1} : {\color{Red}{\frac{19}{2}}} = \frac{8}{1}\cdot {\color{Red} {\frac{2}{19}}} = \frac{8\cdot2}{1\cdot19} = \underline{\underline{\frac{16}{19}}}.$$